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設計と施工は本来別々に依頼するほうがむしろ自然といえるでしょう。まず施主様の希望を充分聞いて、生活スタイルにあった住宅を設計士が図面にします。じっくり練り上げたプランが完成したら、はじめてその設計図を忠実に施工する工務店を探すのが原則です。工務店を選ぶときには、依頼した設計士の意見も聞き、複数の工務店に見積もりを依頼するのがよいでしょう。

設計と施工の分離、コレ自体は問題ないと思います。ただし、会社ごとに得意不得意があります。不得意な範疇での依頼となれば、それぞれ経費も含めて通常よりも高価になることが多いと思います。
そのあたり、十分吟味された上で、各社に依頼される事が大切かと存じます。これは、お金だけではなく、技術面も含まれます。当然、出来上がったお家が本当の意味でお客様が必要する品質やデザイン、住まい心地が得られるかに跳ね返ってきます。

弊社の事情で恐縮ですが、弊社は輸入資材を自社で調達しています。それは、弊社の拘りであり、それを理解頂けるお客様の拘りでもあります。デザインや資材選定といった大切な部分は、もちろん社内で対応しますが、確認申請等の設計は、外部へ委託しています。この設計者は、弊社の仕様を熟知したものが対応します。施工管理は弊社職員が設計者と一体となっておこないます。このような一貫した対応ができて、初めて、お客様の夢が実現できるものと信じています。

一般的には問題ないはずです。
ただ、この回答はは施工会社によって異なります。
あなたの施工エリアの建築会社さんに絞って質問をされた方が良いと思います。
また、設計と施工を別会社に依頼するのであれば、
設計費は少し割高になるとお考えください。

この割高な設計費にはいろいろな費用が含まれますが、
その中に施工監理という項目もあるはずです。
設計通りに施工が進んでいるかチェックすることも
設計者の大切な仕事のひとつですからね。

そしてもうひとつ。

設計者が自分の設計通りの施工できる能力があるか判断することもできます。
つまり、施工会社を設計者によって選んでもらうのです。
見積りを作成する図面の作成は設計者が行うわけですから、
その工事費用の見積書が設計書にきちんと合致しているかのチェック、
工事費が安すぎないか？高すぎないか？のチェックなど、
これらは一般的に設計と施工を分離する場合は設計者の役割となります。

お客様にとってメリットがある手段でしたら可能です。

施工は、別業者でも全然問題は有りません。